如果最小二乘線性回歸算法最小化到回歸直線的豎直距離（即，平行于y軸方向），則戴明回歸最小化到回歸直線的總距離（即，垂直于回歸直線）。其最小化x值和y值兩個(gè)方向的誤差，具體的對(duì)比圖如下圖。
線性回歸算法和戴明回歸算法的區(qū)別。左邊的線性回歸最小化到回歸直線的豎直距離；右邊的戴明回歸最小化到回歸直線的總距離。
線性回歸算法的損失函數(shù)最小化豎直距離；而這里需要最小化總距離。給定直線的斜率和截距，則求解一個(gè)點(diǎn)到直線的垂直距離有已知的幾何公式。代入幾何公式并使tensorflow最小化距離。
損失函數(shù)是由分子和分母組成的幾何公式。給定直線y=mx+b，點(diǎn)（x0，y0），則求兩者間的距離的公式為：
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# 戴明回歸#----------------------------------## this function shows how to use tensorflow to# solve linear deming regression.# y = ax + b## we will use the iris data, specifically:# y = sepal length# x = petal widthimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport tensorflow as tffrom sklearn import datasetsfrom tensorflow.python.framework import opsops.reset_default_graph()# create graphsess = tf.session()# load the data# iris.data = [(sepal length, sepal width, petal length, petal width)]iris = datasets.load_iris()x_vals = np.array([x[3] for x in iris.data])y_vals = np.array([y[0] for y in iris.data])# declare batch sizebatch_size = 50# initialize placeholdersx_data = tf.placeholder(shape=[none, 1], dtype=tf.float32)y_target = tf.placeholder(shape=[none, 1], dtype=tf.float32)# create variables for linear regressiona = tf.variable(tf.random_normal(shape=[1,1]))b = tf.variable(tf.random_normal(shape=[1,1]))# declare model operationsmodel_output = tf.add(tf.matmul(x_data, a), b)# declare demming loss functiondemming_numerator = tf.abs(tf.subtract(y_target, tf.add(tf.matmul(x_data, a), b)))demming_denominator = tf.sqrt(tf.add(tf.square(a),1))loss = tf.reduce_mean(tf.truediv(demming_numerator, demming_denominator))# declare optimizermy_opt = tf.train.gradientdescentoptimizer(0.1)train_step = my_opt.minimize(loss)# initialize variablesinit = tf.global_variables_initializer()sess.run(init)# training looploss_vec = []for i in range(250): rand_index = np.random.choice(len(x_vals), size=batch_size) rand_x = np.transpose([x_vals[rand_index]]) rand_y = np.transpose([y_vals[rand_index]]) sess.run(train_step, feed_dict={x_data: rand_x, y_target: rand_y}) temp_loss = sess.run(loss, feed_dict={x_data: rand_x, y_target: rand_y}) loss_vec.append(temp_loss) if (i+1)%50==0: print('step #' + str(i+1) + ' a = ' + str(sess.run(a)) + ' b = ' + str(sess.run(b))) print('loss = ' + str(temp_loss))# get the optimal coefficients[slope] = sess.run(a)[y_intercept] = sess.run(b)# get best fit linebest_fit = []for i in x_vals: best_fit.append(slope*i+y_intercept)# plot the resultplt.plot(x_vals, y_vals, 'o', label='data points')plt.plot(x_vals, best_fit, 'r-', label='best fit line', linewidth=3)plt.legend(loc='upper left')plt.title('sepal length vs pedal width')plt.xlabel('pedal width')plt.ylabel('sepal length')plt.show()# plot loss over timeplt.plot(loss_vec, 'k-')plt.title('l2 loss per generation')plt.xlabel('generation')plt.ylabel('l2 loss')plt.show() |
結(jié)果：
本文的戴明回歸算法與線性回歸算法得到的結(jié)果基本一致。兩者之間的關(guān)鍵不同點(diǎn)在于預(yù)測(cè)值與數(shù)據(jù)點(diǎn)間的損失函數(shù)度量：線性回歸算法的損失函數(shù)是豎直距離損失；而戴明回歸算法是垂直距離損失（到x軸和y軸的總距離損失）。
注意，這里戴明回歸算法的實(shí)現(xiàn)類型是總體回歸（總的最小二乘法誤差）。總體回歸算法是假設(shè)x值和y值的誤差是相似的。我們也可以根據(jù)不同的理念使用不同的誤差來(lái)擴(kuò)展x軸和y軸的距離計(jì)算。
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