一、青蛙跳臺階
題目
一只青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級臺階。求該青蛙跳上一個 n 級的臺階總共有多少種跳法
思路
遇見題目我們可以在紙上先動手畫畫，把最簡單的幾種方式列出來，作比較，找規律。
分析
按照上面表格可以從跳法次數，過程，或者兩者結合找規律
1. 從跳法次數分析
- 觀察表格，可以知道從n>=3時，第n個數就是前兩個數的和（與斐波那契數列一樣）
- 我們自己推論，當臺階數為n時，設跳法有f(n)次，如果青蛙先跳1階，則剩下的臺階數為n-1，即剩余跳法有f(n-1)次；如果青蛙先跳2階，則剩下的臺階數為n-2，即剩余跳法有f(n-2)次。
- 故跳法次數f(n)=f(n-1)+f(n-2)，因為等號右邊有兩個值，故當n=1，n=2時為最后的特殊限制條件
- 下面代碼為遞歸求法，如果想用非遞歸，可以將遞歸通項改成循環
代碼1（遞歸）
#include <stdio.h>
int jump(int n)
{
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
return jump(n - 1) + jump(n - 2);
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int ret = jump(n);
printf("%d", ret);
return 0;
}
2. 從過程分析
- 觀察表格，可以知道，跳n階臺階，跳兩階臺階次數可以為0到n/2次，而每一次跳兩階臺階的順序也是不定的。可以通過計數原理的組合數C(n，m)，表示從n個數中選m個數排列。n表示每次需要跳的次數，m表示一次跳兩階的次數
- 組合數C(n，m)，可以由n！/(m！*(n-m)！)求得
- 下面代碼為非遞歸求法，如果想要寫成遞歸，可以根據循環修改
代碼2（非遞歸）
#include <stdio.h>
int fac(int m)
{
int i = 0;
int count = 1;
for (i = 1; i <= m; i++)
{
count *= i;
}
return count;
}
int jump(int n)
{
int i = 0; //i為跳兩階臺階的次數
int sum = 0; //sum為計算跳法
for (i = 0; i <= n / 2; i++)
{
int a = 0;
a = n - i * 2 + i; //a為跳到n階臺階跳的次數
sum += fac(a) / (fac(i)*fac(a - i));
}
return sum;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int ret = jump(n);
printf("%d", ret);
return 0;
}
二、青蛙跳臺階變式1
題目
一只青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級臺階…也可以跳n級臺階。求該青蛙跳上一個 n 級的臺階總共有多少種跳法
分析
- 根據原題推論，當臺階數為n時，設跳法有f(n)次，如果青蛙先跳1階，則剩下的臺階數為n-1，即剩余跳法有f(n-1)次；如果青蛙先跳2階，則剩下的臺階數為n-2，即剩余跳法有f(n-2)次。
- 那么當青蛙跳3階臺階，則剩下的臺階數為n-3，即剩余跳法有f(n-3)次…當青蛙跳n階臺階，則剩下的臺階數為n-n，即剩余跳法有f(n-n)次
- 故跳法次數f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)…+f(n-n)
- 由推論可得f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)…+f(n-n)，將其代入上面式子
- 故跳法次數為f(n)=2*f(n-1)，因為等號右邊只有一個值，故n=1為最后的特殊限制條件
代碼3（遞歸）
#include <stdio.h>
int jump(int n)
{
if (n == 1)
return 1;
return 2*jump(n - 1);
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int ret = jump(n);
printf("%d", ret);
return 0;
}
三、青蛙跳臺階變式2
題目
一只青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級臺階…也可以跳m級臺階。求該青蛙跳上一個 n 級的臺階總共有多少種跳法(m<=n)
分析
- 根據變式1推論得f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)…+f(n-n)
- 而這里最多一次只能跳m階，故f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)…+f(n-m)
- 由推論得f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)…+f(n-m)+f(n-m-1)，代入上面式子
- 故跳法次數為f(n)=2*f(n-1)-f(n-m-1)
- 因為通過遞歸n的值在減少，當n<m時，其實最多就只能跳n階，與變式1就是一樣的問題了
代碼4（遞歸）
#include <stdio.h>
int jump(int n,int m)
{
if (n > m)
return 2 * jump(n - 1, m) - jump(n - 1 - m, m);
else
{
if (n == 1)
return 1;
return 2 * jump(n - 1, n);
}
}
int main()
{
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
int ret = jump(n,m);
printf("%d", ret);
return 0;
}
四、漢諾塔問題（求步數）
題目
有A，B，C三個柱子，A柱子上從上到下，從小到大排列著n個圓盤。現要求將A柱子上的n個圓盤全部移動到C柱子上，依然按照從上到下，從小到大的順序排列。且對移動過程要求如下：
a）一次只能移動一個盤子。
b）移動過程中大盤子不允許出現在小盤子上方。
問：總共需要移動的步數是多少？
思路
因為求的是步數，我們可以通過找前面幾組數據，觀察是否有什么規律
分析
- 通過表格觀察，可以知道盤子數為n時，步數為20+21+…+2n-1，即2n-1
- 我們可以通過下面這張圖片來推論：
- 假設盤子數量為n，通過化繁為簡思想，我們可以把盤子分成兩個部分。上面n-1個盤子，和最下面一個盤子。移動步驟如下：
- 將最上面的n-1個盤子移動到B柱上
- 將最下面的盤子移動到C柱上
- 再將B柱上的n-1個盤子移動到C柱上
- 問題轉化成如何移動最上面n-1個盤子。按照上面的思路解決n-1個盤子移動的問題。
- 假設移動n個盤子需要的步數為f(n)，則移動n-1個盤子需要f(n-1)步。
- 故移動步數為f(n)=f(n-1)+1+f(n-1)，即f(n)=2*f(n-1)+1
- 通過等比數列變形又可以得到f(n)=2n-1
代碼5（非遞歸）
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int count =0;
count=(int)pow(2,n)-1;
printf("%d", count);
return 0;
}
代碼6（遞歸）
#include <stdio.h>
int tower(int n)
{
if (n == 1)
return 1;
else
return 2 * tower(n - 1) + 1;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int ret=tower(n);
printf("%d", ret);
return 0;
}
五、漢諾塔問題（求移動過程）
題目
有A，B，C三個柱子，A柱子上從上到下，從小到大排列著n個圓盤。現要求將A柱子上的n個圓盤全部移動到C柱子上，依然按照從上到下，從小到大的順序排列。且對移動過程要求如下：
a）一次只能移動一個盤子。
b）移動過程中大盤子不允許出現在小盤子上方。
問：打印移動的方案 (例如, 移動A柱最上面的圓盤到C柱, 則輸出"A -> C")
思路
因為求的是移動方案，所以我們可以將前幾組數據列出來，結合遞歸化簡為繁的思想找共性和非共性
分析
- 通過觀察得到：除了n=1，n>1時，都是先將A柱上面n-1個盤子拿到B柱（粗字體為其過程），再將A柱最下面盤子拿到C柱。此時A柱變成輔助柱，再將B柱上的盤子放到C柱
- 故將A柱最下面盤子移到C柱為中間過程
- 上一步為將初始柱（A柱）上面n-1個盤子借助輔助柱（C柱）移到目標柱（B柱）【其實可以這里看作單獨一個n-1的漢諾塔，將A柱上的盤子移動到B柱】
- 下一步為將初始柱（B柱）上面n-1個盤子借助輔助柱（A柱）移到目標柱（C柱）【其實可以這里看作單獨一個n-1的漢諾塔，將B柱上的盤子移動到C柱】
- 而上一步，中間過程，下一布就是遞歸的核心思想
- 而當n=1時，盤子數只有一個，我們將其直接放到目標柱即可（其為最終的限制條件）
- 初始柱，輔助柱，目標柱，其實就是把該步驟的移動過程當作一個單獨的漢諾塔問題，需要移動盤子現在所在的位置為初始柱，要將其放到的位置就是目標柱
代碼7（遞歸）
#include <stdio.h>
void hanio(int n, char x, char y, char z)
{
if (n == 1)
printf("%c->%c\n",x,z); //當盤子只剩一個時，直接打印初始柱移動到目標柱的過程
else
{
hanio(n - 1, x, z, y); //將n-1個盤子從起始柱放到目標柱(第一次A->B，第二次B->A，后面往復)
printf("%c->%c\n", x, z); //打印初始柱移動到目標柱的過程
hanio(n - 1, y, x, z); //將n-1個盤子從起始柱放到目標柱(第一次B->C，第二次C->B，后面往復)
}
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
hanio(n,'A','B','C');
return 0;
}
結語：
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