為了方便起見，這些模型通常簡稱為TAR模型。這些模型捕獲了線性時間序列模型無法捕獲的行為，例如周期，幅度相關的頻率和跳躍現象。Tong和Lim（1980）使用閾值模型表明，該模型能夠發現黑子數據出現的不對稱周期性行為。
一階TAR模型的示例：
σ是噪聲標準偏差，Yt-1是閾值變量，r是閾值參數， {et}是具有零均值和單位方差的iid隨機變量序列。
每個線性子模型都稱為一個機制。上面是兩個機制的模型。
考慮以下簡單的一階TAR模型：
#低機制參數 i1 = 0.3 p1 = 0.5 s1 = 1 #高機制參數 i2 = -0.2 p2 = -1.8 s2 = 1 thresh = -1 delay = 1 #模擬數據 y=sim(n=100,Phi1=c(i1,p1),Phi2=c(i2,p2),p=1,d=delay,sigma1=s1,thd=thresh,sigma2=s2)$y #繪制數據 plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t',ylab=expression(Y[t]) abline(thresh,0,col="red")
TAR模型框架是原始TAR模型的修改版本。它是通過抑制噪聲項和截距并將閾值設置為0來獲得的：
框架的穩定性以及某些規律性條件意味著TAR的平穩性。穩定性可以理解為，對于任何初始值Y1，框架都是有界過程。
在[164]中：
#使用不同的起點檢查穩定性
startvals = c(-2, -1.1,-0.5, 0.8, 1.2, 3.4)
count = 1
for (s in startvals) {
ysk[1
} else {
ysk[i] = -1.8*ysk[i-1]
}
count = count + 1
}
#繪制不同實現
matplot(t(x),type="l"
abline(0,0)
Chan和Tong（1985）證明，如果滿足以下條件，則一階TAR模型是平穩的
一般的兩機制模型寫為：
在這種情況下，穩定性更加復雜。然而，Chan and Tong（1985）證明，如果
模型估計
一種方法以及此處討論的方法是條件最小二乘（CLS）方法。
為簡單起見，除了假設p1 = p2 = p，1≤d≤p，還假設σ1=σ2=σ。然后可以將TAR模型方便地寫為
如果Yt-d> r，則I（Yt-d> r）= 1，否則為0。CLS最小化條件殘差平方和：
在這種情況下，可以根據是否Yt-d≤r將數據分為兩部分，然后執行OLS估計每個線性子模型的參數。
如果r未知。
在r值范圍內進行搜索，該值必須在時間序列的最小值和最大值之間，以確保該序列實際上超過閾值。然后從搜索中排除最高和最低10％的值
在此受限頻帶內，針對不同的r = yt值估算TAR模型。選擇r的值，使對應的回歸模型的殘差平方和最小。
#找到分位數 lq = quantile(y,0.10) uq = quantile(y,0.90) #繪制數據 plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t'abline(lq,0,col="blue") abline(uq,0,col="blue")
#模型估計數 sum( (lq <= y ) & (y <= uq) )
80
如果d未知。
令d取值為1,2,3，...，p。為每個d的潛在值估算TAR模型，然后選擇殘差平方和最小的模型。
Chan（1993）已證明，CLS方法是一致的。
最小AIC（MAIC）方法
由于在實踐中這兩種情況的AR階數是未知的，因此需要一種允許對它們進行估計的方法。對于TAR模型，對于固定的r和d，AIC變為
然后，通過最小化AIC對象來估計參數，以便在某個時間間隔內搜索閾值參數，以使任何方案都有足夠的數據進行估計。
#估算模型
#如果知道閾值
#如果閾值尚不清楚
#MAIC 方法
for (d in 1:3) {
if (model.tar.s$AIC < AIC.best) {
AIC.best = model.tar.s$AIC
model.best$d = d
model.best$p1 = model.tar.s
ar.s$AIC, signif(model.tar.s$thd,4)
AICM
| d | AIC | R | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 311.2 | -1.0020 | 1 | 1 |
| 2 | 372.6 | 0.2218 | 1 | 2 |
| 3 | 388.4 | -1.3870 | 1 | 0 |
非線性測試
1.使用滯后回歸圖進行目測。
繪制Yt與其滯后。擬合的回歸曲線不是很直，可能表明存在非線性關系。
在[168]中：
lagplot(y)
2.Keenan檢驗：
考慮以下由二階Volterra展開引起的模型：
其中{?t} 的iid正態分布為零均值和有限方差。如果η=0，則該模型成為AR（mm）模型。
可以證明，Keenan檢驗等同于回歸模型中檢驗η=0：
其中Yt ^ 是從Yt-1，...，Yt-m上的Yt回歸得到的擬合值。
3. Tsay檢驗：
Keenan測試的一種更通用的替代方法。用更復雜的表達式替換為Keenan檢驗給出的上述模型中的項η（∑mj = 1?jYt-j）2。最后對所有非線性項是否均為零的二次回歸模型執行F檢驗。
在[169]中：
#檢查非線性: Keenan, Tsay #Null is an AR model of order 1 Keenan.test(y,1)
$test.stat 90.2589565661567 $p.value 1.76111433596097e-15 $order 1
在[170]中：
Tsay.test(y,1)
$test.stat 71.34 $p.value 3.201e-13 $order 1
4.檢驗閾值非線性
這是基于似然比的測試。
零假設是AR（pp）模型；另一種假設是具有恒定噪聲方差的p階的兩區域TAR模型，即σ1=σ2=σ。使用這些假設，可以將通用模型重寫為
零假設表明?2,0 = ?2,1 = ... = ?2，p = 0。
似然比檢驗統計量可以證明等于
其中n-p是有效樣本大小，σ^ 2（H0）是線性AR（p）擬合的噪聲方差的MLE，而σ^ 2（H1）來自TAR的噪聲方差與在某個有限間隔內搜索到的閾值的MLE。
H0下似然比檢驗的采樣分布具有非標準采樣分布；參見Chan（1991）和Tong（1990）。
在[171]中：
res = tlrt(y, p=1, d=1, a=0.15, b=0.85) res
$percentiles 14.1 85.9 $test.statistic : 142.291963130459 $p.value : 0
模型診斷
使用殘差分析完成模型診斷。TAR模型的殘差定義為
標準化殘差是通過適當的標準偏差標準化的原始殘差：
如果TAR模型是真正的數據機制，則標準化殘差圖應看起來是隨機的?？梢酝ㄟ^檢查標準化殘差的樣本ACF來檢查標準化誤差的獨立性假設。
#模型診斷 diag(model.tar.best, gof.lag=20)
預測
預測分布通常是非正態的。通常，采用模擬方法進行預測。考慮模型
然后給定Yt = yt，Yt-1 = yt-1，...
因此，可以通過從誤差分布中繪制et + 1并計算h（yt，et + 1），來獲得單步預測分布的Yt + 1的實現。 。
通過獨立重復此過程 B 次，您可以 從向前一步預測分布中隨機獲得B值樣本 。
可以通過這些B 值的樣本平均值來估計提前一步的預測平均值 。
通過迭代，可以輕松地將仿真方法擴展為找到任何l步提前預測分布：
其中Yt = yt和et + 1，et + 2，...，et + l是從誤差分布得出的ll值的隨機樣本。
在[173]中：
#預測 model.tar.pred r.best, n.ahead = 10, n.sim=1000) y.pred = ts(c lines(ts(model.tar.pred$pred.interval[2,], start=end(y) + c(0,1), freq=1), lty=2) lines(ts(model
樣例
這里模擬的時間序列是1700年至1988年太陽黑子的年數量。
在[174]中：
#數據集 #太陽黑子序列，每年 plot.ts(sunsp
#通過滯后回歸圖檢查非線性 lagplot(sunspo)
#使用假設檢驗檢查線性 Keenan.test(sunspot.year) Tsay.test(sunspot.year)
$test.stat 18.2840758932705 $p.value 2.64565849317573e-05 $order 9 $test.stat 3.904 $p.value 6.689e-12 $order 9
在[177]中：
#使用MAIC方法
AIC{
sunspot.tar.s = tar(sunspot.year, p1 = 9, p2 = 9, d = d, a=0.15, b=0.85)
AICM
| d | AIC | R | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2285 | 22.7 | 6 | 9 |
| 2 | 2248 | 41.0 | 9 | 9 |
| 3 | 2226 | 31.5 | 7 | 9 |
| 4 | 2251 | 47.8 | 8 | 7 |
| 5 | 2296 | 84.8 | 9 | 3 |
| 6 | 2291 | 19.8 | 8 | 9 |
| 7 | 2272 | 43.9 | 9 | 9 |
| 8 | 2244 | 48.5 | 9 | 2 |
| 9 | 2221 | 47.5 | 9 | 3 |
在[178]中：
#測試閾值非線性 tl(sunspot.year, p=9, d=9, a=0.15, b=0.85)
$percentiles 15 85 $test.statistic : 52.2571950943405 $p.value : 6.8337179274236e-06
#模型診斷 tsdiag(sunspot.tar.best)
#預測 sunspot.tar.pred <- predict(sunspot.tar.best, n.ahead = 10, n.sim=1000) lines(ts(sunspot.tar.pred$pretart=e
#擬合線性AR模型 #pacf(sunspot.year) #嘗試AR階數9 ord = 9 ar.mod <- arima(sunspot.year, order=c(ord,0,0), method="CSS-ML") plot.ts(sunspot.year[10:289]
模擬TAR模型上的AR性能
示例1. 將AR（4）擬合到TAR模型
set.seed(12349) #低機制參數 i1 = 0.3 p1 = 0.5 s1 = 1 #高機制參數 i2 = -0.2 p2 = -1.8 s2 = 1 thresh = -1 delay = 1 nobs = 200 #模擬200個樣本 y=sim(n=nobs,Phi1=c(i1,p1),Phi$y #使用Tsay的檢驗確定最佳AR階數 ord <- Tsay.test(y)$order #線性AR模型 #pacf(sunspot.year) #try AR order 4
例子2. 將AR（4）擬合到TAR模型
例子3. 將AR（3）擬合到TAR模型
例子3. 將AR（7）擬合到TAR模型
參考文獻
恩德斯（W. Enders），2010年。應用計量經濟學時間序列
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