一、前言

算法(Algorithm)是指用來操作數據、解決程序問題的一組方法。對于同一個問題，使用不同的算法，也許最終得到的結果是一樣的，但在過程中消耗的資源和時間卻會有很大的區別。

衡量不同算法之間的優劣主要是通過「時間」和「空間」兩個維度去考量：

• 時間維度：是指執行當前算法所消耗的時間，我們通常用「時間復雜度」來描述。
• 空間維度：是指執行當前算法需要占用多少內存空間，我們通常用「空間復雜度」來描述

通常會遇到一種情況，時間和空間維度不能夠兼顧，需要在兩者之間取得一個平衡點是我們需要考慮的

一個算法通常存在最好、平均、最壞三種情況，我們一般關注的是最壞情況

最壞情況是算法運行時間的上界，對于某些算法來說，最壞情況出現的比較頻繁，也意味著平均情況和最壞情況一樣差

二、時間復雜度

時間復雜度是指執行這個算法所需要的計算工作量，其復雜度反映了程序執行時間「隨輸入規模增長而增長的量級」，在很大程度上能很好地反映出算法的優劣與否

一個算法花費的時間與算法中語句的「執行次數成正比」，執行次數越多，花費的時間就越多

算法的復雜度通常用大O符號表述，定義為T(n) = O(f(n))，常見的時間復雜度有：O(1)常數型、O(log n)對數型、O(n)線性型、O(nlogn)線性對數型、O(n^2)平方型、O(n^3)立方型、O(n^k)k次方型、O(2^n)指數型，如下圖所示：

從上述可以看到，隨著問題規模n的不斷增大，上述時間復雜度不斷增大，算法的執行效率越低，由小到大排序如下：

1. Ο(1)＜Ο(log n)＜Ο(n)＜Ο(nlog n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2^n)＜Ο(n!) 

注意的是，算法復雜度只是描述算法的增長趨勢，并不能說一個算法一定比另外一個算法高效，如果常數項過大的時候也會導致算法的執行時間變長

關于如何計算時間復雜度，可以看看如下簡單例子：

1. function process(n) { 
2.   let a = 1 
3.   let b = 2 
4.   let sum = a + b 
5.   for(let i = 0; i < n; i++) { 
6.     sum += i 
7.   } 
8.   return sum 
9. } 

該函數算法需要執行的運算次數用輸入大小n的函數表示，即 T(n) = 2 + n + 1，那么時間復雜度為O(n + 3)，又因為時間復雜度只關注最高數量級，且與之系數也沒有關系，因此上述的時間復雜度為O(n)

又比如下面的例子：

1. function process(n) { 
2.  let count = 0 
3.   for(let i = 0; i < n; i++){ 
4.     for(let i = 0; i < n; i++){ 
5.       count += 1 
6.     } 
7.   } 
8. } 

循環里面嵌套循環，外面的循環執行一次，里面的循環執行n次，因此時間復雜度為 O(n*n*1 + 2) = O(n^2)

對于順序執行的語句，總的時間復雜度等于其中最大的時間復雜度，如下：

1. function process(n) { 
2.   let sum = 0 
3.   for(let i = 0; i < n; i++) { 
4.     sum += i 
5.   } 
6.   for(let i = 0; i < n; i++){ 
7.     for(let i = 0; i < n; i++){ 
8.       sum += 1 
9.     } 
10.   } 
11.   return sum 
12. } 

上述第一部分復雜度為O(n)，第二部分復雜度為O(n^2)，總復雜度為max(O(n^2), O(n)) = O(n^2)

又如下一個例子：

1. function process(n) { 
2.   let i = 1; // ① 
3.   while (i <= n) { 
4.      i = i * 2; // ② 
5.   } 
6. } 

循環語句中以2的倍數來逼近n，每次都乘以2。如果用公式表示就是1 * 2 * 2 * 2 … * 2 <=n，也就是說2的x次方小于等于n時會執行循環體，記作2^x <= n，于是得出x<=logn

因此循環在執行logn次之后，便結束，因此時間復雜度為O(logn)

同理，如果一個O(n)循環里面嵌套O(logn)的循環，則時間復雜度為O(nlogn)，像O(n^3)無非也就是嵌套了三層O(n)循環

三、空間復雜度

空間復雜度主要指執行算法所需內存的大小，用于對程序運行過程中所需要的臨時存儲空間的度量

除了需要存儲空間、指令、常數、變量和輸入數據外，還包括對數據進行操作的工作單元和存儲計算所需信息的輔助空間

下面給出空間復雜度為O(1)的示例，如下

1. let a = 1 
2. let b = 2 
3. let c = 3 

上述代碼的臨時空間不會隨著n的變化而變化，因此空間復雜度為O(1)

1. let arr [] 
2. for(i=1; i<=n; ++i){ 
3.   arr.push(i) 
4. } 

上述可以看到，隨著n的增加，數組的占用的內存空間越大

通常來說，只要算法不涉及到動態分配的空間，以及遞歸、棧所需的空間，空間復雜度通常為O(1)，一個一維數組a[n]，空間復雜度O(n)，二維數組為O(n^2)

參考文獻

• https://juejin.cn/post/6844904167824162823#heading-7
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/50479555
• https://cloud.tencent.com/developer/article/1769988

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