堆是數據結構中的一種重要結構，了解“堆”的概念和操作，可以幫助我們快速地掌握堆排序。
堆的概念
堆是一種特殊的完全二叉樹（complete binary tree）。如果一棵完全二叉樹的所有節點的值都不小于其子節點，稱之為大根堆（或大頂堆）；所有節點的值都不大于其子節點，稱之為小根堆（或小頂堆）。
在數組（在0號下標存儲根節點）中，容易得到下面的式子（這兩個式子很重要）：
1.下標為i的節點，父節點坐標為(i-1)/2；
2.下標為i的節點，左子節點坐標為2*i+1，右子節點為2*i+2。
堆的建立和維護
堆可以支持多種操作，但現在我們關心的只有兩個問題：
1.給定一個無序數組，如何建立為堆？
2.刪除堆頂元素后，如何調整數組成為新堆？
先看第二個問題。假定我們已經有一個現成的大根堆。現在我們刪除了根元素，但并沒有移動別的元素。想想發生了什么：根元素空了，但其它元素還保持著堆的性質。我們可以把最后一個元素（代號A）移動到根元素的位置。如果不是特殊情況，則堆的性質被破壞。但這僅僅是由于A小于其某個子元素。于是，我們可以把A和這個子元素調換位置。如果A大于其所有子元素，則堆調整好了；否則，重復上述過程，A元素在樹形結構中不斷“下沉”，直到合適的位置，數組重新恢復堆的性質。上述過程一般稱為“篩選”，方向顯然是自上而下。
刪除一個元素是如此，插入一個新元素也是如此。不同的是，我們把新元素放在末尾，然后和其父節點做比較，即自下而上篩選。
那么，第一個問題怎么解決呢？
我看過的數據結構的書很多都是從第一個非葉子結點向下篩選，直到根元素篩選完畢。這個方法叫“篩選法”，需要循環篩選n/2個元素。
但我們還可以借鑒“無中生有”的思路。我們可以視第一個元素為一個堆，然后不斷向其中添加新元素。這個方法叫做“插入法”，需要循環插入(n-1)個元素。
由于篩選法和插入法的方式不同，所以，相同的數據，它們建立的堆一般不同。
大致了解堆之后，堆排序就是水到渠成的事情了。
算法概述/思路
我們需要一個升序的序列，怎么辦呢？我們可以建立一個最小堆，然后每次輸出根元素。但是，這個方法需要額外的空間（否則將造成大量的元素移動，其復雜度會飆升到O(n^2)）。如果我們需要就地排序（即不允許有O(n)空間復雜度），怎么辦？
有辦法。我們可以建立最大堆，然后我們倒著輸出，在最后一個位置輸出最大值，次末位置輸出次大值……由于每次輸出的最大元素會騰出第一個空間，因此，我們恰好可以放置這樣的元素而不需要額外空間。很漂亮的想法，是不是？
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public class HeapSort { public static void main(String[] args) { int[] arr = { 50, 10, 90, 30, 70, 40, 80, 60, 20 }; System.out.println("排序之前："); for (int i = 0; i < arr.length; i++) System.out.print(arr[i] + " "); // 堆排序 heapSort(arr); System.out.println(); System.out.println("排序之后："); for (int i = 0; i < arr.length; i++) System.out.print(arr[i] + " "); } /** * 堆排序 */ private static void heapSort(int[] arr) { // 將待排序的序列構建成一個大頂堆 for (int i = arr.length / 2; i >= 0; i--) heapAdjust(arr, i, arr.length); // 逐步將每個最大值的根節點與末尾元素交換，并且再調整二叉樹，使其成為大頂堆 for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--) { swap(arr, 0, i); // 將堆頂記錄和當前未經排序子序列的最后一個記錄交換 heapAdjust(arr, 0, i); // 交換之后，需要重新檢查堆是否符合大頂堆，不符合則要調整 } } /** * 構建堆的過程 * @param arr 需要排序的數組 * @param i 需要構建堆的根節點的序號 * @param n 數組的長度 */ private static void heapAdjust(int[] arr, int i, int n) { int child; int father; for (father = arr[i]; leftChild(i) < n; i = child) { child = leftChild(i); // 如果左子樹小于右子樹，則需要比較右子樹和父節點 if (child != n - 1 && arr[child] < arr[child + 1]) child++; // 序號增1，指向右子樹 // 如果父節點小于孩子結點，則需要交換 if (father < arr[child]) arr[i] = arr[child]; else break; // 大頂堆結構未被破壞，不需要調整 } arr[i] = father; } // 獲取到左孩子結點 private static int leftChild(int i) { return 2 * i + 1; } // 交換元素位置 private static void swap(int[] arr, int index1, int index2) { int tmp = arr[index1]; arr[index1] = arr[index2]; arr[index2] = tmp; }} |
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